失業保険についてお聞きします。1ヶ月を超えてからアルバイトした場合はこの制限はありませんので受給可能です。

健康保険について。
嫁が失業保険受給の為、受給期間中は扶養を外れて健康保険に加入しなければならないと思うのですが、手続きはどのようにすれば良いのでしょうか？
会社にはその旨を説明し
、失業保険受給資格証は渡してあります。

＞会社にはその旨を説明し、失業保険受給資格証は渡してあります。

失業保険受給資格証に、退職した日付が書かれていれば、その資格証を市区町村役場の保険年金課（または市民課）で国民健康保険資格取得届に記入し、その資格証とともに提出（資格証は証拠のためにコピーを取られます。）することで、即日発行されます。

余談ですが、保険料の納付書は役所に届けている世帯主宛に送付されます。
それと、健康保険料は、ご家族全員（世帯単位）の昨年12月までの年収（源泉徴収票に記載の、控除後の額）の合計を基準に算定されますので、これまでの会社の健康保険料とは違う額が請求されてくると思いますから、補足までに。

先日1年弱前に仕事を退職しました。その際に会社の方からの失業保険の書類には自己都合となっていました。
（退職した理由は、勤務時間の大幅な変更と休日の大幅変更でした・・）
退職後、職安に行ってきて理由を聞かれたので勤務時間と休日が全く変わってしまった旨を
伝えるとすぐに失業保険がおりました。（特定受給者？？とかみたいでした）

その後またその会社から仕事に来てほしいと誘いを受けております。
（勤務時間については甘くみてくれるということで・・）

また同じ会社に入った際に雇用保険の手続き等で会社の方からなぜ自己都合じゃなくなってるんだとか
つっこまれることはないですか？

ちょっと不安です。（いろいろ言われるのが嫌なので・・）

経済的にも仕事はしたいとは考えておりますが、めんどうなことは避けたいです。

だれかお分かりになる方よろしくお願いいたします。

会社はそういったことは言わないと思います。
なぜかというと、労働条件が大幅に変わったことで「特定受給資格者」の認定を受けてもそのことはHWは会社には言いまません。
あくまでも会社としてはは自己都合退職したことになっています。また正当な理由のある自己都合退職者としてHWが認めたわけですので早く失業保険が受給できただけのことで、会社は関係ありません。

失業保険についてお聞きします。
今、現在失業中であり手当てを頂いております。
失業手当の日数が120日残っております。
１ヵ月限定でアルバイトの話があるのですが、１ヵ月働いた場合には失業手当よりも多くアルバイト代を貰えます。
アルバイトした場合は失業手当の打ち切りとなりますか？
週35時間位の労働で日当が１万円との事ですが…
ただ、この後がないので打ち切られると大変です。

雇用保険の基本手当は、受給資格者が自己の労働による収入を得た場合には、基本手当が調整されますが、質問内容のようなアルバイトの場合には就業と扱われるので基本手当が不支給になります。

しかし、基本手当の残日数が120日ということから、就業促進手当である就業手当には該当するかもしれません。離職理由による給付制限を受けた場合は、待機期間満了後１ヶ月の期間内については、公共職業安定所又は職業紹介事業者の紹介により職業に就いたことが条件になります。1ヶ月を超えてからアルバイトした場合はこの制限はありませんので受給可能です。

基本手当日額の10分の3が支給され、基本手当は支給を受けたものとみなされます。その後、アルバイトをしなくなったら元の基本手当の支給に戻ります。